Question

已知椭圆的离心率，点A为椭圆上一点，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．问：在轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）椭圆C的方程为；（2）存在定点M，坐标为（1，0）．

【解析】

试题分析：（1）由可得，①

，可得， 2分

在中由余弦定理可得：，又，

可得，② 4分

联立①②得：，∴，

∴椭圆的方程为； 6分

（2）设点P．由，得， 8分

，化简得，

∴ ， 10分

∴P ．

由，得Q（4，4k＋m），假设存在点M，坐标为，

则，． 12分

∵以PQ为直径的圆恒过M点，∴，即，

∴对任意k，m都成立．

则 ，解得，故存在定点M（1，0）符合题意． 14分

考点：考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题．