Question

（2013•合肥二模）在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2，AB丄AD，且AE丄平面ABD，平面BD丄平面ABD
（I）当AB∥平面CDE时，求AE的长；
（II）当AE=2+

2

时，求二面角A-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AE=a，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），取BD中点T，连CT，AT，求出平面CDE的一个法向量为

n

，根据AB∥平面CDE可得

AB

•

n

=0，由此可求出a值，即AE长；
（Ⅱ）转化为求两平面法向量的夹角，由（Ⅰ）易知平面CDE的一个法向量

n

=(2-

2

，2+

2

，2)，可证平面AEC的一个法向量为

BD

=（-2，2，0），利用向量夹角公式即可求得，注意二面角与向量夹角的关系；

解答：解：（Ⅰ）设AE=a，如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），
取BD中点T，连CT，AT，则CT⊥BD，
又平面CBD⊥平面ABD，
∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，
∵CD=BC=2，BD=2

2

，
∴CD⊥CB，∴CT=

2

，
∴C（1，1，

2

），

AB

=（2，0，0），

DE

=（0，-2，a），

DC

=（1，-1，

2

），
设平面CDE的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则有

n • DE =0 n • DC =0

，则-2y+az=0，x-y+

2

z=0，
取z=2，则y=a，x=a-2

2

，所以

n

=（a-2

2

，a，2），
∵AB∥平面CDE，
∴

AB

•

n

=0，∴a-2

2

=0，
所以a=2

2

；
（Ⅱ）∵a=2+

2

，
∴由上述（Ⅰ）易知平面CDE的一个法向量

n

=(2-

2

，2+

2

，2)，
BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
则平面AEC的一个法向量为

BD

=（-2，2，0），
故cos＜

n

，

BD

＞=

1

2

，所以θ=

π

3

，
故二面角A-EC-D的大小为

π

3

．

点评：本题考查利用空间向量求二面角、判定线面平行，考查学生的运算求解能力，考查学生推理论证能力，属中档题．