Question

（理科） 已知数列{a_n}满足an+1=|an-1|(n∈N+)．
（1）若a1=

5

4

，计算a₂，a₃，a₄的值，并写出数列{a_n}（n∈N⁺，n≥2）的通项公式；
（2）是否存在a1，n0(a1∈R，n0∈N+)，使得当n≥n0(n∈N+)时，a_n恒为常数，若存在，求出a₁，n₀，否则说明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N⁺），求{a_n}的前3k项的和S_3k（用k，a表示）．

Answer 1

分析：（1）由数列a_n满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），a1=

5

4

，我们分别求出a₂，a₃，a₄的值，分析变化的周期性规则，即可得到{a_n}的表达式；
（2）分a_n≥1时，0＜a₁＜1时，a₁=b≥1时和a₁=c＜0时，几种情况，分别进行讨论，最后将讨论结论综合，即可得到结论；
（3）当a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）时，易知a₂=a-1，a₃=a-2，…，a_k=a-（k-1），利用拆项法，即可得到答案．

解答：解：（1）∵a1=

5

4

，∴a₂=

1

4

，a₃=

3

4

，a₄=

1

4

∴a1=

5

4

，n≥2时，a_n=

1 4 ，n=2k 3 4 ，n=2k+1

，其中k∈N^*
（2）因为存在a_n+1=|a_n-1|=

an-1，an≥1 -an+1，an＜1

，
所以当a_n≥1时，a_n+1≠a_n
①若0＜a₁＜1，则a₂=1-a₁，a₃=1-a₂=a₁，此时只需：a₂=1-a₁=a₁，∴a1=

1

2

，故存在a1=

1

2

，an=

1

2

，（n∈N^*）
②若a₁=b≥1，不妨设b∈[m，m+1），m∈N^*，易知a_m+1=b-m∈[0，1），
∴a_m+2=1-a_m+1=1-（b-m）=a_m+1=b-m
∴b=m+

1

2

，∴a₁=m+

1

2

，n≥m+1时，a_n=

1

2

，（m∈N^*）
③若a₁=c＜0，不妨设c∈（-l，-l+1），l∈N^*，易知a₂=-c+1∈（l，l+1]，
∴a₃=a₂-1=-c，a_l+2=-c-（l-1）∈（0，1]
∴c=-l+

1

2

，∴a₁=-l+

1

2

（l∈N*），n≥l+2，则a_n=

1

2

故存在三组a₁和n₀：a₁=

1

2

时，n₀=1；a₁=m+

1

2

时，n₀=m+1；a₁=-m+

1

2

时，n₀=m+2其中m∈N^*
（3）当a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）时，
易知a₂=a-1，a₃=a-2，a_k=a-（k-1），
a_k+1=a-k∈（0，1），a_k+2=1-a_k+1=k+1-a，
a_k+3=1-a_k+2=a-k，a_k+4=1-a_k+3=k+1-a，
a_3k-1=a-k，a_3k=k+1-a
∴S_3k=a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+2+a_k+3+a_k+4+…+a_3k-1+a_3k=a+（a-1）+（a-2）+…+a-（k-1）+k=-

k2

2

+k（a+

3

2

）

点评：本题考查数列递推公式及数列求和，其中正确理解数列的递推公式，并能准确的对a进行分类讨论，是解答本题的关键．