Question

（理科）已知数列{a_n}为等差数列，公差为d，{b_n}为等比数列，公比为q，且d=q=2，b₃+1=a₁₀-15=5，设c_n=a_nb_n
（1）求数列{c_n}的通项；
（2）求数列{c_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析：（1）由题设知

b1•22+1=5 a1+9×2-15=5

，解得b₁=1，a₁=2，由此能求出c_n．
（2）由c_n=n•2ⁿ，知S_n=2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，公差为d，
{b_n}为等比数列，公比为q，且d=q=2，b₃+1=a₁₀-15=5，设c_n=a_nb_n
∴

b1•22+1=5 a1+9×2-15=5

，
∴b₁=1，a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）d=2n，bn=1×2n-1=2^n-1，
∴c_n=a_nb_n=n•2ⁿ．
（2）∵c_n=n•2ⁿ，
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，①
∴2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．