Question

9．某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设年数为n，利润总和是关于n的函数f（n）．
（1）写出f（n）的表达式，并求从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？

Answer 1

分析 （1）根据收入-投资=利润列出f（n）表达式，根据利润大于0时开始获取纯利润求出n的范围，进而确定出正整数n的最小值即可；
（2）根据题意两种方案求出总收益，比较即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：f（n）=50n-72-[12n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4]=（-2n²+40n-72）万美元，
由-2n²+40n-72＞0，得到2＜n＜18，n为正整数，
则从第3年开始获取纯利润；
（2）方案①：年平均利润为$\frac{f（n）}{n}$=-2n-$\frac{72}{n}$+40=40-2（n+$\frac{36}{n}$）≤40-2×2×6=16（万美元），
当n=$\frac{36}{n}$，即n=6时，年平均利润最大，此时总收益为16×6+48=96+48=144（万美元）；
方案②：由f（n）=-2（n-10）²+128，得到n=10时，f（n）最大，最大利润为128万美元，此时总收益为128+16=144（万美元），
比较两种方案，总收益都为144万美元，方案①需要6年，方案②需要10年，故方案①合算．

点评 此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数性质及基本不等式是解本题的关键．