Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足关系式S_n+1=4a_n+2，且a₁=1，设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N⁺）．
（1）证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n+2n-1}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，与原式相减可知：a_n+1=4a_n+4a_n-1，整理可知：（a_n+1-2a_n）=2（a_n-2a_n-1），即b_n=2b_n-1，b₁=a₂-2a₁=3，可知{b_n}是等比数列以3为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知b_n=3•2^n-1，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{b_n+2n-1}的前项和T_n．

解答 解：（1）证明：S_n+1=4a_n+2，
当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，
两式相减得：a_n+1=4a_n+4a_n-1，
∴（a_n+1-2a_n）=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1，
a₁+a₂=4a₁+2，a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，
∴{b_n}是等比数列以3为首项，以2为公比的等比数列；
b_n=3•2^n-1，
（2）数列{b_n+2n-1}的前项和T_n，
T_n=$\frac{3-3•{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{（1+2n-1）•n}{2}$，
=3•2ⁿ+n²-3，
∴T_n=3•2ⁿ+n²-3．

点评 本题考查等比数列通项公式，考查等比数列和等差数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．