Question

2．已知函数f（x）=a+xln（x+1）（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）已知x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞），且x₁，x₂是函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$的两个极值点，试证明：?m∈（-1，0），n∈（0，+∞），都有F（m）＜F（n）

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）求出a＞0，在（-1，x₁），（x₂，+∞），函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$单调递减，（x₁，x₂），函数单调递增，x₁是函数的极小值点，x₂是函数的极大值点，即可证明结论．

解答 （1）解：当a=1时，f（x）=1+xln（x+1），
∴f′（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$，
∴f′（0）=1，
∵f（0）=1，
∴曲线y=f（x）在x=0处的切线方程y-1=x，即x-y+1=0；
（2）证明：∵F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{a}{x}$+ln（x+1），
∴F′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x+1}$=0，
∴x²-ax-a=0，
∵x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞），且x₁，x₂是函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$的两个极值点，
∴a＞0，
∴在（-1，x₁），（x₂，+∞），函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$单调递减，（x₁，x₂），函数单调递增，
∴x₁是函数的极小值点，x₂是函数的极大值点，
∵m∈（-1，0），n∈（0，+∞），
∴都有F（m）＜F（n）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．