Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．

（1）求证:平面;

（2）求平面和平面的夹角.

 

Answer 1

证明见解析

【解析】

试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量

建立空间直角坐标系

则.

.

设平面的法向量为

即 令

则.

又平面平面

（2）底面是正方形,又平面

又,平面

向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量.

二面角的平面角为.

考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.