Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，△ABC面积为

5

2

，cosB=

2

3

．
（1）求b的值；
（2）求cos（2B-A）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用同角三角函数间的关系及正弦定理、余弦定理即可求得b的值；
（2））利用同角三角函数间的关系可求得sinA，利用倍角公式可求得cos2B与sin2B，再由两角差的余弦可求得cos（2B-A）的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，
∴a=3c；
又cosB=

2

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

3

，∵△ABC面积为

5

2

，
∴

1

2

acsinB=

1

2

×3c²×

5

3

=

5

2

，
∴c=1，a=3；
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=10-2×3×1×

2

3

=6，
解得：b=

6

．
（2）由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6+1-9

2× 6 ×1

=-

6

6

，A∈（0，π），
∴sinA=

30

6

，
由cosB=

2

3

得：cos2B=2cos²B-1=-

1

9

（

π

2

＜2B＜π），sin2B=

4 5

9

，
∴cos（2B-A）=cos2BcosA+sin2BsinA=（-

1

9

）（-

6

6

）+

4 5

9

×

30

6

=

7 6

18

．

点评：本题考查倍角公式与两角差的余弦，考查同角三角函数间的关系的应用，突出考查运正弦定理与余弦定理的综合应用，考查运算能力，属于难题．