Question

8．已知tan²α=tan²β+1，求证：sin²β=2-$\frac{1}{si{n}^{2}α}$．

Answer 1

分析 首先将已知等式切化弦，然后利用平方关系变形整理即可．

解答 证明：由已知tan²α=tan²β+1，
所以 $\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}=\frac{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}{co{s}^{2}β}$，∴$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}=\frac{1}{co{s}^{2}β}$，
$\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}=co{s}^{2}β$，
所以1-sin²β=$\frac{1-si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α}$，
所以sin²β=2-$\frac{1}{si{n}^{2}α}$．

点评 本题考查了三角函数的基本关系式；包括商数关系和平方关系的运用．