Question

17．从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm的学生各一名，其身高和体重数据如表所示：

身高/cm（x）	150	155	160	165	170
体重/kg（y）	43	46	49	51	56

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，计算身高为168cm时，体重的估计值$\stackrel{∧}{y}$为多少？
    参考公式：线性回归方程 $\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；
（2）由回归直线方程，计算当x=168cm时，即可求得体重的估计值$\stackrel{∧}{y}$．

解答 解：（1）由已知数据，可得$\overline{x}=\frac{1}{5}（150+155+160+165+170）=160$，$\overline{y}=\frac{1}{5}（43+46+49+51+56）=49$，…（1分）$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}}-\bar y）=（150-160）（43-49）+（155-160）（46-49）+（160-160）（49-49）+$
（165-160）（51-49）+（170-160）（56-49）=155，$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}={（150-160）^2}+{（155-160）^2}+{（160-160）^2}+{（165-160）^2}+{（170-160）^2}=250$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}=\frac{155}{250}=0.62$，…（5分）
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=49-0.62×160=-50.2$，…（7分）
∴y关于x的线性回归方程为y=0.62x-50.2，…（9分）
（2）由（1）知，当x=168时，$\hat y=0.62×168-50.2=53.96$（kg）…（11分）
因此，当身高为168cm时，体重的估计值$\hat y$为53.96kg．     …（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查利用线性回归方程进行预测，属于基础题．