Question

10．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1-7分别对应年份2008-2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：$\sum_{i=1}^{7}$y_i=9.32，$\sum_{i=1}^{7}$t_iy_i=40.17，$\sqrt{\sum_{i=1}^{7}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=0.55，$\sqrt{7}$≈2.646．
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，
回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+$\widehat{b}$t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

解答 解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r=$\frac{\sum _{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum _{i=1}^{7}{（{t}_{i}-\overline{t}）}^{2}\sum _{i=1}^{7}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}}$=$\frac{\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}{y}_{i}-7\overline{t}\overline{y}}{\sqrt{\sum _{i=1}^{7}{（{t}_{i}-\overline{t}）}^{2}\sum _{i=1}^{7}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}}$≈$\frac{40.17-4×9.32}{2\sqrt{7}•0.55}$≈$\frac{2.89}{2.9106}$≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2）$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}{y}_{i}-7\overline{t}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{7}{t}_{i}^{2}-7{\overline{t}}^{2}}$≈$\frac{2.89}{28}$≈0.103，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{t}$≈1.331-0.103×4≈0.92，
∴y关于t的回归方程$\hat{y}$=0.10t+0.92，
2016年对应的t值为9，
故$\hat{y}$=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．

点评 本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．