题目内容

11．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，且它们边上的高分别为$\frac{1}{13}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{11}$，则该三角形为（　　）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不存在这样的三角形

分析 由三角形的面积公式可用S表示出a，b，c，由三角形的边角关系和余弦定理可得最大角的余弦值，可得结论．

解答 解：∵△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，且它们边上的高分别为$\frac{1}{13}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{11}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{1}{13}$=$\frac{1}{2}$×b×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2}$×c×$\frac{1}{11}$，∴a=26S，b=10S，c=22S，
∴a为最大边，角A为最大角，由余弦定理可得cosA=$\frac{（10S）^{2}+（22S）^{2}-（26S）^{2}}{2•10S•22S}$=-$\frac{23}{110}$＜0，
∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
故选：C．

点评 本题考查三角形形状的判断，涉及三角形的面积公式和余弦定理，属中档题．

练习册系列答案
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