Question

已知曲线C₁：y²=2x与C₂：y=

1

2

x2在第一象限内交点为P．
（1）求过点P且与曲线C₂相切的直线方程；
（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．

Answer 1

分析：（1）先通过解方程组求交点P的坐标，再根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）先确定积分区间，再确定被积函数，从而可求由两条曲线曲线C₁：y²=2x与C₂：y=

1

2

x2所围图形的面积．

解答：解：（1）曲线C₁：y²=2x与C₂：y=

1

2

x2在第一象限内交点为P（2，2）
C₂：y=

1

2

x2的导数y'=x
y'|_x=2=2
而切点的坐标为（2，2）
∴曲线C₂：y=

1

2

x2在x=2的处的切线方程为y-2=2（x-2），即2x-y-2=0．

（2）由曲线C₁：y²=2x与C₂：y=

1

2

x2可得两曲线的交点坐标为（0，0），（2，2）
∴两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积：
S=

∫

2 0

（

2x

-

1

2

x2）dx=（

2

×

2

3

x 

3

2

-

1

6

x3）

|

2 0

=

4

3

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．