Question

已知曲线C₁：y²=2x与C₂：y=在第一象限内交点为P．

（1）求过点P且与曲线C₂相切的直线方程；

（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．

Answer 1

考点：

定积分在求面积中的应用．

专题：

计算题；导数的概念及应用．

分析：

（1）先通过解方程组求交点P的坐标，再根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．

（2）先确定积分区间，再确定被积函数，从而可求由两条曲线曲线C₁：y²=2x与C₂：y=所围图形的面积．

解答：

解：（1）曲线C₁：y²=2x与C₂：y=在第一象限内交点为P（2，2）

C₂：y=的导数y'=xy'|_x=2=2

而切点的坐标为（2，2）

∴曲线C₂：y=在x=2的处的切线方程为y﹣2=2（x﹣2），即2x﹣y﹣2=0．（2）由曲线C₁：y²=2x与C₂：y=可得两曲线的交点坐标为（0，0），（2，2）

∴两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积：

S=（﹣）dx=（×x﹣）=．

点评：

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．