Question

【题目】已知函数，.

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）设，试讨论函数的单调性；

（3）当时，若存在正实数满足，求证：.

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析（3）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；

（Ⅱ）由题意，得 ，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.

（1）因为，所以，

因为在处取得极值，

所以，解得．

验证：当时，在处取得极大值．

（2）解：因为

所以．

①若，则当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减．

②若，，

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减；

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减．

（3）证明：当时，，

因为，

所以，

即，

所以．

令，，

则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为．

所以，

即，所以或．

因为为正实数，所以．

当时，，此时不存在满足条件，

所以．