Question

若直线x+y+m=0（m∈R）不可能是曲线f（x）=ax²+lnx的切线，则实数a的取值范围是（　　）

• A．a≤0
• B．a≥-

  1

  8

• C．a＜-

  1

  8

• D．a≥0

Answer 1

分析：先将条件“对任意实数m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=-1无解，然后分离a后构造函数y=-

1

2x2

-

1

2x

，再平方和换元后由二次函数的性质求出此函数的值域，最后求出值域补集为所求的a的范围．

解答：解：由题意得，f′（x）=2ax+

1

x

（x＞0），且直线x+y+m=0（m∈R）的斜率为-1，
∵对任意实数m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，
∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为-1，
即2ax+

1

x

=-1无正实数根，分离a得a=-

1

2x2

-

1

2x

①，也就是①无正实数根，
令y=-

1

2x2

-

1

2x

=-

1

2

(

1

x

+

1

2

)2+

1

8

，
由x＞0得，设t=

1

x

＞0，则y=-

1

2

(t+

1

2

)2+

1

8

＜0，
∴a≥0，
故选D．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的关键是对条件“对任意实数m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的正确转化，还考查利用平方和换元后由二次函数的性质求出此函数的值域，以及转化的数学思想和分离常数法．