Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1
（1）过椭圆上点P作x轴的垂线PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，求线段PD中点M的轨迹方程；
（2）若直线x-y+m=0与已知椭圆交于A、B两点，R（0，1），且|RA|=|RB|，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）确定P、M坐标之间的关系，利用点P在椭圆上，即可求得线段PD中点M的轨迹E的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论．

解答：解：（1）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意x=x′，y=

y′

2

∴x′=x，y′=2y
又点P在

x2

4

+y2=1上，∴

x′2

4

+y′2=1，即

x2

4

+4y2=1
∴线段PD的中点M轨迹方程为

x2

4

+4y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线x-y+m=0与已知椭圆方程联立，消去y可得

5

4

x2+2mx+m2-1=0
∴x₁+x₂=-

8m

5

∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

5

∴AB的中点坐标为（-

4m

5

，

m

5

）
∵R（0，1），且|RA|=|RB|，
∴

m 5 -1

- 4 5 m

×1=-1
∴m=-

5

3

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．