Question

设函数f（x）=|x-2a|+|x+1|，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜5；
（2）若存在x_o∈R，使得f（x_o）＜3，成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥2时，当x≤-1时，当-1＜x＜2时，化简不等式解得，最后求并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最小值，可运用绝对值不等式的性质可得最小值，再令其小于3，即可解出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=|x-2|+|x+1|，
当x≥2时，f（x）＜5，即为（x-2）+（x+1）＜5，即x＜3成立，则有2≤x＜3；
当x≤-1时，f（x）＜5即为（2-x）-（1+x）＜5，即x＞-2，解得-2＜x≤-1；
当-1＜x＜2时，f（x）＜5即为2-x+（x+1）＜5，即3＜5成立，则有-1＜x＜2．
则原不等式的解集为（-2，-1]∪∪（-1，2）∪[2，3）即为（-2，3）；
（2）由绝对值不等式的性质可得|x-2a|+|x+1|≥|（x-2a）-（x+1）|=|2a+1|，
即有f（x）的最小值为|2a+1|．
若存在x_o∈R，使得f（x_o）＜3成立，
可得|2a+1|＜3，故有-3＜2a+1＜3，求得-2＜a＜1，
则a的取值范围为（-2，1）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查不等式的存在性问题，注意与恒成立问题的区别，属于中档题和易错题．