Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(2,0)，其倾斜角为，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角的取值范围；

（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，设出直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于半径得到直线斜率的范围，从而可得倾斜角的取值范围．(Ⅱ)由题意得到曲线C的参数方程，故可将的范围问题化为三角函数的值域的问题求解．

试题解析：

(Ⅰ) 曲线C的极坐标方程即为，

∵，

∴曲线C的直角坐标方程为，即．

∴曲线C是圆心为C(2, 0)，半径为2的圆．

∵直线l过点P(2,0)，

∴当l的斜率存在时，直线l与曲线C才有公共点，

设直线l的方程为，即，

∵直线l与圆有公共点，

∴圆心C到直线l的距离 ，

解得．

又，

∴或.

故的取值范围是．

(Ⅱ)由(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为，

故其参数方程为 （为参数）

∵M(x,y)为曲线C上任意一点，

∴

∵，

∴，

所以的取值范围是．