题目内容
【题目】设函数
．
（1）若当
时，函数
的图象恒在直线
上方，求实数
的取值范围；
（2）求证：
．
【答案】（Ⅰ）
；(Ⅱ)见解析.
【解析】
试题分析：（1）令
，只要满足对任意
都有
，对
分情况讨论即可；
（2）对要证明的不等式等价变形，结合（1）中结论即可得证.
试题解析：（Ⅰ）令
，则
，
，
①当
时，由于，有
，
于是
在上单调递增，从而
，因此
在上单调递增，即
；
②当
时，由于，有
，
于是在上单调递减，从而
，
因此在上单调递减，即
不符；
③当
时，令
，当
时，
，于是在上单调递减，
从而，因此在上单调递减，
即而且仅有
不符.
综上可知，所求实数
的取值范围是
.
(Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数
，不等式
恒成立，等价变形
相当于（2）中
，
的情形，
在
上单调递减，即；
取
，得：都有成立；
令
得证．
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【题目】某城市一汽车出租公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A车型 B车型
出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
车辆数 | 5 | 10 | 30 | 35 | 15 | 3 | 2 | 车辆数 | 14 | 20 | 20 | 16 | 15 | 10 | 5 |
（Ⅰ）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）
（ⅰ）试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及数学期望；
（ⅱ）如果两种车辆每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆（注：两种车型的采购价格相当），请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
