Question

【题目】己知函数

(1)设时，判断函数在上的零点的个数；

(2)当，是否存在实数，对且，有恒成立，若存在，求出的范围：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上无零点（2）存在，的取值范围是[2，+∞)

【解析】

（1）利用导数可知函数在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，)上递减，可得在单调递增且可知无零点（2）化简得，由可得（）恒成立，构造函数，需有恒成立，分离参数求解即可.

(1)的定义域是(0，+∞)

，

令得到：，，且

所以函数在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，)上递减

因为

所以在单调递增，

因为，

所以在上无零点.

(2)因为，

所以

化简得

不妨设可化为；

考查函数则

即，整理可得

令，则，

因此单调递減，所以

所以

综上：的取值范围是[2，+∞)