Question

直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若P为A₁B₁的中点，求证：DP∥平面ACB₁．

Answer 1

分析：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由BB₁⊥平面ABCD，知BB₁⊥AC，有∠BAD=∠ADC=90°，知AB=2AD=2CD=2，由此能够证明AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）由P为A₁B₁的中点，知PB₁∥AB，且PB1=

1

2

AB，由此能够证明DP∥面ACB₁．

解答：证明：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵∠BAD=∠ADC=90°，
AB=2AD=2CD=2，
∴AC=

2

，∴BC=

2

，∴BC⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）由P为A₁B₁的中点，知PB₁∥AB，
且PB1=

1

2

AB，
∵DC∥AB，DC=

1

2

AB，
∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，
∴DCB₁P为平行四边形，从而CB₁∥DP，
∵CB₁?面ACB₁，DP?面ACB₁，
∴DP∥面ACB₁．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明和直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．