Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点；
（Ⅰ）若E是CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求出CE的长度，使得A₁-BD-E为直二面角．

Answer 1

分析：（I）连接CD₁，由直四棱柱的性质，可得A₁D₁BC是平行四边形，从而CD₁∥A₁B，再用三角形中位线定理证出EF∥CD₁，所以EF∥A₁B，最后用线面平行的判定定理，可证出EF∥平面A₁BD；
（II）连接AC与BD相交于点O，连接A₁O，EO．利用线面垂直的判定与性质可证出A₁O⊥BD、EO⊥BD，从而∠A₁OE就是二面角
A₁-BD-E的平面角．因此要使A₁-BD-E为直二面角，即∠A₁OE=90°，由平几知识可得△A₁AO～△OCE，利用对应线段成比例结合已知条件，可得当CE的长度为

3

4

时，二面角A₁-BD-E为直二面角．

解答：解：（I）连接CD₁，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁且B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC
∴四边形A₁D₁BC是平行四边形，可得CD₁∥A₁B
∵△C₁CD₁中，EF是中位线，∴EF∥CD₁
∴EF∥A₁B-----（3分）
∵EF?面ABB₁A₁，A₁B⊆面ABB₁A₁
∴EF∥平面A₁BD；…（6分）
（II）连接AC与BD相交于点O，连接A₁O，EO
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥AA₁
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC、AA₁是平面AA₁C₁C内的相交直线，
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵A₁O、EO⊆平面AA₁C₁C，∴A₁O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A₁OE就是二面角A₁-BD-E的平面角，
因此，要使A₁-BD-E为直二面角，即∠A₁OE=90°，可得∠A₁OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A₁OA=90°-∠EOC，结合∠A₁AO=∠OCE=90°，得△A₁AO～△OCE．
设CE=x，所以

AA1

OC

=

OA

CE

，…（*）
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，AB=2
∴AO=OC=

1

2

AC=

3

，
又因为AA₁=4，代入（*）可得

4

3

=

3

x

，解之得x=

3

4

∴当CE的长度为

3

4

时，二面角A₁-BD-E为直二面角．…（12分）

点评：本题给出底面为菱形的直四棱柱，证明直线与平面平行并探求了平面与平面成直角的问题，着重考查了线面平行的判定和面面垂直的定义，以及二面角的平面角求法等知识，属于中档题．