Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=DC=2，AB=1，AD⊥DC，AB∥CD．
（1）设E为DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用直四棱柱平行四边形的性质、线面平行的判定定理即可得出；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的平面角．

解答：（1）证明：如图所示，连接BE．
∵E为DC的中点，∴DE=

1

2

DC=1．
∵AB=1，∴DE=AB．
又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE

∥

.

AD．
由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可得AD

∥

.

A1D1．
∴A1D1

∥

.

BE．
∴四边形BED₁A₁是平行四边形．
∴D₁E∥A₁B．
又D₁E?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD；
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，1，0），A₁（2，0，3），C₁（0，2，3）．
∴

DA1

=（2，0，3），

DB

=（2，1，0），

DC1

=（0，2，3）．
设平面A₁BD的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • DB =2x+y=0 n • DA1 =2x+3z=0

，令z=2，则x=-3，y=6．
∴

n

=（-3，6，2）．
设平面DBC₁的法向量为

m

，同理可得

m

=（3，-6，4）．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

-9-36+8

49 • 61

=-

37 61

427

．
∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值为

37 61

427

．

点评：熟练掌握直四棱柱平行四边形的性质、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的平面角等是解题的关键．