Question

求和：

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

=______．（n∈N^*）

Answer 1

∵（1+x）ⁿ=

C

0n

+

C

1n

•x +

C

2n

•x2+…+

C

nn

•x n，
两边同时对x求导可得 n（1+x）^n-1=

C

1n

+2

C

2n

•x +3

C

3n

•x2+…+n

C

nn

•xn-1．
令 x=1可得，n•2^n-1=

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

，
故答案为 n•2^n-1．