Question

（2013•静安区一模）求和：

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=

n•2^n-1

．（n∈N^*）

Answer 1

分析：根据 （1+x）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

•x +

C

2 n

•x2+…+

C

n n

•xn，两边同时对x求导，再令 x=1，可得答案．

解答：解：∵（1+x）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

•x +

C

2 n

•x2+…+

C

n n

•x n，
两边同时对x求导可得 n（1+x）^n-1=

C

1 n

+2

C

2 n

•x +3

C

3 n

•x2+…+n

C

n n

•xn-1．
令 x=1可得，n•2^n-1=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，
故答案为 n•2^n-1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，属于中档题．