题目内容

lim
n→∞
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
n•3n
的值为（　　）
A、0
B、
1
2
C、2
D、不存在
分析：先利用组合数阶乘形式的公式得到kCnk=nCn-1k-1；将分子中的各部分提出公因式n，再利用二项式系数的和为2n-1，代入求出值即可．
解答：解：∵kCnk=nCn-1k-1，
∴Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=nCn-10+nCn-11+nCn-12+nCn-13+…+nCn-1n-1
=n（Cn-10+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1）=n•2n-1．
∴
lim
n→∞
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
n•3n

=
lim
n→∞
n•2n-1
n•3n
=0
故选A．
点评：本题考查组合数的公式性质：kCkn=nCk-1n-1；考查二项式系数和公式，以及极限的求法，考查运算能力，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
lim
n→∞
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
1+3+5+…+(2n-1)
=（　　）
在下列极限中，其值等于2的是（　　）
（2008•奉贤区模拟）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．
lim
n→∞
C1n
+2
C2n
+3
C3n
+…+n
Cnn
n•3n
的值为（　　）
A．0B．
1
2
C．2D．不存在

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