题目内容

C
1
n
+2
C
2
n
+4
C
3
n
+…+2n-1
C
n
n
的值等于（　　）
分析：逆用二项式定理，令t=
C
1
n
+2
C
2
n
+4
C
3
n
+…+2n-1
C
n
n
，可求2t=（1+2）n-1，从而可求答案．
解答：解：令t=
C
1
n
+2
C
2
n
+4
C
3
n
+…+2n-1
C
n
n
，
则2t=2
C
1
n
+22
C
2
n
+23
C
3
n
+…+2n
C
n
n

=
C
0
n
+2
C
1
n
+22
C
2
n
+23
C
3
n
+…+2n
C
n
n
-
C
0
n

=（1+2）n-1，
∴t=
1
2
（3n-1），
即
C
1
n
+2
C
2
n
+4
C
3
n
+…+2n-1
C
n
n
=
1
2
（3n-1），
故选D．
点评：本题考查二项式定理的应用，考查观察与分析运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
下列等式：
①
C
1
n
+
2C
2
n
+
3C
3
n
+…+
nC
n
n
=n•2n-1
②
C
1
n
-
2C
2
n
+
3C
3
n
+…+(-1)n-1
nC
n
n
=0
③l×l!+2×2!+3×3!+…+n×n!=（n+1）!-1
④
C
0
n
C
n
n
+
C
1
n
C
n-1
n
+
C
2
n
C
n-2
n
+…+
C
n
n
C
n
n
=
(2n)!
n!×n!

其中正确的个数为（　　）
请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x2+…+
C
n
n
xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2
C
2
n
x+3
C
3
n
x2+4
C
4
n
x3+…+n
C
n
n
xn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求
C
1
n
-2
C
2
n
+3
C
3
n
-…+(-1)n-1n
C
n
n
的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2
C
2
n
-3•2
C
3
n
+4•3
C
4
n
+…+(-1)n-2n(n-1)
C
n
n
=0．
设m，n，k∈N*，且m≤n，k≤n，n≥2，给出下列四个命题：
①
C
m
n
=
C
n-m
n
；       ②在（1+x）n的展开式中，若只有x4的系数最大，则n=7；
③k
C
k
n
=n
C
k-1
n-1
；      ④
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
=n•2n-1．
其中正确命题的个数有（　　）
请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=
C0n
+
C1n
x+
C2n
x2+…+
Cnn
xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2
C2n
x+3
C3n
x2+4
C4n
x3+…+n
Cnn
xn-1；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求
C1n
-2
C2n
+3
C3n
-…+(-1)n-1n
Cnn
的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2
C2n
-3•2
C3n
+4•3
C4n
+…+(-1)n-2n(n-1)
Cnn
=0．

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