Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³＋a₂³＋…＋a_n³＝(a₁＋a₂＋…＋a_n)²．

(1)求a₁，a₂的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(3)设数列的前n项和为S_n，不等式S_n＞log_a(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：当时，有， 　　由于，所以． 　　当时，有， 　　将代入上式，由于，所以． 　　(2)解：由于，① 　　则有．② 　　②－①，得， 　　由于，所以．③ 　　同样有，④ 　　③－④，得． 　　所以． 　　由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 　　故． 　　(3)解：由(2)知，则． 　　所以 　　 　　． 　　∵，∴数列单调递增． 　　所以． 　　要使不等式对任意正整数恒成立，只要． 　　∵，∴． 　　∴，即． 　　所以，实数的取值范围是．

提示：

本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识