Question

10．一公差不为0的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分布为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项．
（1）求{a_n}各项的和S；
（2）记{b_n}的末项不大于$\frac{S}{2}$，求{b_n}项数的最值N；
（3）记{a_n}前n项和为S_n，{b_n}前N项和为T_N，问：是否存在自然数m，使S_m=T_N？

Answer 1

分析 利用（5+3d）²=5（5+15d）可知公差d=5．
（1）利用等差数列的求和公式计算即得结论；
（2）通过d=5可知b₃的值，进而可得公比，问题即求不等式5•2^n-1≤$\frac{25250}{2}$的最大整数解，计算即可；
（3）假设S_m=T_N，即5m+$\frac{m（m-1）}{2}$×5=5（2¹²-1），计算即得结论．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则b₁=a₁=5，b₃=a₄=5+3d，b₅=a₁₆=5+15d，
∴（5+3d）²=5（5+15d），
解得d=5或d=0（舍）．
（1）S=100×5+$\frac{100×99}{2}×5$=25250；
（2）∵d=5，∴b₃=5+3d=20，
∵b_n＞0，∴公比q=$\sqrt{\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{20}{5}}$=2，
∴b_n=5•2^n-1，
令5•2^n-1≤$\frac{25250}{2}$，即2ⁿ≤5050，
又∵2¹²＜5050＜2¹³，即n＜13，
且2¹²=4096＜5050，
∴N的最大值为12；
（3）结论：存在自然数m=90，使S₉₀=T₁₂．
理由如下：
∵b₁=a₁=5，d=5，q=2，
∴S_m=T_N，即5m+$\frac{m（m-1）}{2}$×5=5（2¹²-1），
整理得：m²+m-8190=0，
解得m=90或-91（舍），
故存在自然数m=90，使S₉₀=T₁₂．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．