题目内容
20．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（ ）| A． | $\frac{1}{ab}＞\frac{1}{2}$ | B． | a2+b2≥8 | C． | $\sqrt{ab}$≥2 | D． | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≤1 |
分析 取特值可排除A、B、C，由二次函数的最值可证B正确．
解答 解：由题意取a=1且b=3显然满足题意，但$\frac{1}{ab}$=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$，故A错误；
还取a=1且b=3，但有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{4}{3}$＞1，$\sqrt{ab}$=$\sqrt{3}$＜2，故B、C错误；
对于B，∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴b=4-a，
∴a2+b2=a2+（4-a）2=2a2-8a+16=2（a-2）2+8，
由二次函数可知当a=b=2时，a2+b2取最小值8，
故有a2+b2≥8成立．
故选：B
点评 本题考查不等式的性质，涉及二次函数的最值，属基础题．
练习册系列答案
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5．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则$\frac{bsinB}{c}$=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |