(Ⅰ)请默写两角和与差的余弦公式(C(α+β).C(α-β)).并用公式C(α-β)证明公式C(α+β)C(α+β):cos=cosαcosβ-sinαsinβ,C(α-β):cos=cosαcosβ+sinαsinβ．(Ⅱ)在平面直角坐标系中.两点A(x1.y1).B(x2.y2)间的距离公式是:$|{AB}|=\sqrt{{{}^2}+{{}^2}}$.如图.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．（Ⅰ）请默写两角和与差的余弦公式（C_（α+β），C_（α-β）），并用公式C_（α-β）证明公式C_（α+β）C_（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；C_（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）间的距离公式是：$|{AB}|=\sqrt{{{（{{x_2}-{x_1}}）}^2}+{{（{{y_2}-{y_1}}）}^2}}$，如图，点A（1，0），P₁（cosα，sinα），P₂（cos（-β），sin（-β）），P（cos（α+β），sin（α+β）），请从这个图出发，推导出两角和的余弦公式（C_（α+β））（注：不能用向量方法）．

分析（Ⅰ）由α+β=α-（-β），利用诱导公式即可证明；
（Ⅱ）由AP=P₁P₂及两点间的距离公式即可得解．

解答（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）两角和的余弦公式C_α+β为：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．两角差的余弦公式C_α-β为：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
证明：∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ，得证．
故答案为：cosαcosβ-sinαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ．…（6分）
（Ⅱ）由AP=P₁P₂及两点间的距离公式，得：[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²…（6分）
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．…（12分）