Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点B(0，-2

2

)，顶点C在x轴上，点P为线段OC的中点．
（1）求BC边所在直线方程；
（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
（3）直线l过点P且线被圆M截得的弦长为4

2

，求直线的l方程．

Answer 1

分析：（1）易知K_AB=-

2

因为AB⊥BC，从而求得k_BC，由点斜式求和直线BC的方程．
（2）由BC的直线方程，令y=0，可得C（4，0），求得AC的中点即圆心，再求得半径AM=3，可写出外接圆的方程．
（3）当斜率不存在时，直线方程为x=2，验证符合题意，当斜率存在时，设出直线方程由圆心到直线的距离等于半径求解即可．

解答：解：（1）∵AB的直线的斜率k=-

2

，AB⊥BC，
∴BC的斜率k=

2

2

∴直线BC：y=

2

2

x-2

2

．
（2）由y=

2

2

x-2

2

．令y=0，得：C（4，0），
∴圆心M（1，0），
又∵AM=3，
∴外接圆的方程为（x-1）²+y²=9．
（3）由题意可得P（2，0）
当斜率不存在时，直线方程为x=2，则此时与圆相交可得交点E（2，2

2

），F（2，-2

2

），EF=4

2

满足题意
当斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2）
∵弦长4

2

，半径r=3，圆心（1，0）到直线y=k（x-2）的距离d=

|k|

1+k2

∴(2

2

)2+d²=9，此时k不存在
故直线的方程为x=2

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，主要涉及了直线与直线垂直，直角三角形的外接圆的求法及圆的切线的求法，同时，涉及到直线的斜率时，要注意是否存在．