Question

（2012•咸阳三模）（考生注意：请在下列三道试题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（不等式选做题）若不等式|2a-1|≤ |x+

1

x

|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围为

[-

1

2

，

3

2

]

．
B．（几何证明选做题）如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD=2，则∠C的大小为

30°

．
C．（极坐标与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=3

2

，圆C：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为

3

2

+1

．

Answer 1

分析：A．由题意求出|x+

1

x

|的最小值，只要|2a-1|小于等于最小值，即可满足题意，求出a的范围即可．
B．先根据已知条件，证得AC是⊙O的切线；然后运用切割线定理求出AC的长．
C．首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程，利用三角函数的基本关系及

x=cosθ y=sinθ

化简得到圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值．

解答：解：A．∵x与

1

x

同号，∴|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2．（当且仅当x=±1时取“=”）
∴|x+

1

x

|的最小值2
∴2≥|2a-1|，解得a∈[-

1

2

，

3

2

]．
故答案为：[-

1

2

，

3

2

]
B．解：∵AB是⊙O的直径，由切割线定理，得：AB²=AD•AC，
∵AD=2，AB=4，
∴4²=2×AC，即AC=8．
在直角三角形ABC中，sinC=

AB

AC

=

4

8

=

1

2

则∠C的大小为 30°．
故答案为：30°．
C．解：由ρcos(θ-

π

4

)=3

2

，得：ρ（cosθ+sinθ）=6
∴x-y=6即：x-y-6=0
由

x=cosθ y=sinθ

，得x²+y²=1
∴圆心到直线l的距离d=

6

2

=3

2

所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=3

2

+1．
故答案为：3

2

+1．

点评：A．本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题一般通过函数的最值解决，注意端点问题的处理．是高考常考题．
B．解决此题的关键是能够根据AB是圆的切线，再熟练运用切割线定理求解．
C．考查学生会把简单的极坐标方程转换为平面直角方程，综合运用直线与圆方程的能力，以及灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题．