Question

在直角坐标系中，已知圆的方程为x²-8xcosθ+y²-6ysinθ+7cos²θ+8=0，在以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，有点A（2，0）
（Ⅰ）求圆心轨迹的普通方程C；
（Ⅱ）若点P在曲线C上，求|PA|的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）化圆的一般式方程为标准式，得到圆心坐标，消去参数后得圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）由题意方程求得其左右顶点坐标，根据A为椭圆的右顶点可得|PA|的取值范围．

解答： 解（Ⅰ）将圆的方程整理得：（x-4cosθ）²+（y-3sinθ）²=1．
设圆心坐标为（x，y），则

x=4cosθ y=3sinθ

（θ为参数，θ∈R），
消掉θ得：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由

x2

4

+

y2

3

=1，得椭圆左右顶点坐标分别为：（-2，0），（2，0），
而A（2，0），
∴椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的点P与A的距离的最小值为0，最大值为4．
故|PA|的取值范围是[0，4]．

点评：本题考查了圆的一般方程化标准方程，考查了椭圆的参数方程化普通方程，是基础题．