Question

如图所示，点N在圆x²+y²=4上运动，DN⊥x轴，点M在DN的延长线上，且（λ＞0）．
（1）求点M的轨迹方程，并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）当时，（1）所得曲线记为C，已知直线，P是l上的动点，射线OP（O为坐标原点）交曲线C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）设M（x，y），N（x₀，y₀），
由得 x=x₀，y=λy₀，
∴

把N（x₀，y₀）代入圆的方程得，
化简得

当0＜λ＜1时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆

（2））当时，（1）所得曲线C为．
设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y）
∵P在l上、R在椭圆上，∴①②

设，由比例性质得 ，∴x₁=tx，y₁=ty

代入①得③

∵|OQ|•|OP|=|OR|²，∴，
∴

代入②得④

由③④联立得=，又t≠0，
∴，原点除外．
化简得点Q的轨迹方程为x²-2x+4y²-4y=0（原点除外）．

分析：（1）利用，确定动点坐标之间的关系，利用点N在圆x²+y²=4上运动，可以得到点M的轨迹方程，从而可得λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），Q（x，y），根据比例性质，条件|OQ|•|OP|=|OR|²，可得坐标之间的关系，化简变形即可得到点Q的轨迹方程．
点评：本题重点考查代入法求轨迹方程，考查消参思想，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，综合性较强．