题目内容

已知
a
，
b
是非零向量，
a
与
b
的夹角为θ，当
a
+t
b
（t∈R）的模取得最小值时．
（1）求t的值；
（2）若
a
与
b
同向共线，求证：
b
⊥(
a
+t
b
)．
（1）∵|
a
+t
b
|=
(
a
+t
b
)2

=
a
2+2t
a
•
b
+t2
b
2

=
a
2+2t|
a
||
b
|cosθ+
b
2
t2
=
b
2(t+
|
a
|
|
b
|
cosθ)2+|
a
|sin2θ

根据二次函数的知识可得，当t=-
|
a
|
|
b
|
cosθ=-
|
a
||
b
|
|
b
|2
cosθ=
a
•
b
|
b
|2
×（-1）时，|
a
+t
b
|取得最小值．
（2）证明：
b
•(
a
+t
b
)=
b
•(
a
-
a
•
b
|
b
|2
•
b
)=
b
•
a
-
a
•
b
|
b
|2
•
b
2=
a
•
b
-
a
•
b
=0
∴
b
⊥(
a
+t
b
)．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
，
b
是非零向量，满足
a
=λ
b
，
b
=λ
a
（λ∈R），则λ=（　　）
A、-1B、±1C、0D、0
已知
a
，
b
是非零向量，且
a
，
b
夹角为
π
3
，则向量
p
=
a
丨
a
丨
+
b
丨
b
丨
的模为
3
3
．
已知
a
，
b
是非零向量，且满足（
a
-2
b
）⊥
a
，（
b
-2
a
）⊥
b
，则
a
与
b
的夹角是
60
60
°．
已知
a
，
b
是非零向量，t为实数，设
u
=
a
+
tb
．
（1）当|
u
|取最小值时，求实数t的值；
（2）当|
u
|取最小值时，求证
b
⊥（
a
+
b
）．
已知
a
、
b
是非零向量，若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，则
a
，
b
应满足条件
 
．

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