Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线均与圆x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点与圆x²+y²-6x+5=0的圆心重合，则双曲线的方程是（　　）

• A．

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• B．

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• C．

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1
• D．

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1

Answer 1

分析：先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程．

解答：解：∵圆C：x²+y²-6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），
即c=3，∴a²+b²=9，①
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx-ay=0，
∴C到渐近线的距离等于半径，即

3b

a2+b2

=2，②
由①②解得：a²=5，b²=4
∴该双曲线的方程为

x2

5

-

y2

4

=1．
故选A．

点评：本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，解题时要认真审题，仔细解答．