题目内容

已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，若f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）当0＜x≤
π
3
时，求f（x）的值域．
分析：（I）由函数f（x）=
a
•
b
转化为sin（2ωx+
π
6
）+
1
2
，利用周期公式求得ω；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2
，由0＜x≤
π
3
，得
π
6
＜2x+
π
6
≤
5π
6
，再利用整体思想求解．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=
3
sinωxcosωx+cos2ωx（2分）
=
3
2
sin2ωx+
1
2
（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+
π
6
）+
1
2
（4分）
∵ω＞0，∴T=π=
2π
2ω
，∴ω=1（6分）
（Ⅱ）由（1），得f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2
，
∴0＜x≤
π
3
，∴
π
6
＜2x+
π
6
≤
5π
6
（9分）
∴f（x）∈[1，
3
2
]（12分）
点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性和值域．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（3sin α，cos α），
b
=（2sin α，5sin α-4cos α），α∈(
3π
2
，2π)，且
a
⊥
b
．
（1）求tan α的值；
（2）求cos(
α
2
+
π
3
)的值．
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f（x）=
a
•
b
+
1
2
的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若x∈(
7
24
π，
5
12
π)时，f(x)=-
3
5
，求cos4x的值；
（3）若cosx≥
1
2
，x∈（0，π），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
-
1
2
已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的单调区间；对称轴方程；对称中心坐标；
（3）当0＜x≤
π
3
时，试求f（x）的最值．
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（cosωx，3cosωx），ω＞0，设f（x）=
a
•
b
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x经过怎样的变换得到．

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