题目内容
已知向量
=（
sinωx，cosωx），
=（cosωx，3cosωx），ω＞0，设f（x）=
•
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x经过怎样的变换得到．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x经过怎样的变换得到．
分析：（1）根据两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据周期为π，利用周期公式即可求出ω的值；
（2）根据正弦函数的递增区间求出x的范围，即可确定出f（x）的递增区间；
（3）利用图象平移及变换规律即可得到结果．
（2）根据正弦函数的递增区间求出x的范围，即可确定出f（x）的递增区间；
（3）利用图象平移及变换规律即可得到结果．
解答：解：（1）∵向量
=（
sinωx，cosωx），
=（cosωx，3cosωx），ω＞0，
∴f（x）=
•
=
sinωxcosωx+3cos2ωx=
sin2ωx+
cos2ωx+
=
sin（2ωx+
）+
，
∵T=
=π，ω＞0，∴ω=1；
（2）f（x）=
sin（2x+
）+
，
令-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z，得到-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-
+kπ，
+kπ]，k∈Z；
（3）f（x）=
sin（2x+
）+
的图象由y=sin2x向右平移
个单位，y的值伸长
倍，再向上平移
个单位得到．
| a |
| 3 |
| b |
∴f（x）=
| a |
| b |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∵T=
| 2π |
| |2ω| |
（2）f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
令-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
则f（x）的单调递增区间为[-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（3）f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式是解本题的关键．
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