题目内容

已知向量
a
=（3sin α，cos α），
b
=（2sin α，5sin α-4cos α），α∈(
3π
2
，2π)，且
a
⊥
b
．
（1）求tan α的值；
（2）求cos(
α
2
+
π
3
)的值．
分析：（ 1）通过向量关系，求
a
•
b
=0，化简后，求出tanα=-
4
3
．
（2）根据α的范围，求出
α
2
的范围，确定
α
2
的正弦、余弦的值，利用两角和的余弦公式求出cos(
α
2
+
π
3
)的值．
解答：解：（1）∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0．
而
a
=（3sinα，cosα），
b
=（2sinα，5sinα-4cosα），
故
a
•
b
=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0．
由于cosα≠0，∴6tan2α+5tanα-4=0．
解之，得tanα=-
4
3
，或tanα=
1
2
．
∵α∈（
3π
2
，2π），tanα＜0，
故tanα=
1
2
（舍去）．
∴tanα=-
4
3
．
（2）∵α∈(
3π
2
， 2π )，∴
α
2
∈(
3π
4
，π)
由tanα=-
4
3
，求得tan
α
2
=-
1
2
或tan
α
2
=2（舍去）
∴sin
α
2
=
5
5
，cos
α
2
=-
2
5
5

cos（
α
2
+
π
3
）=cos
α
2
cos
π
3
-sin
α
2
sin
π
3

=-
2
5
5
×
1
2
-
5
5
×
3
2
=-
2
5
+
15
10
点评：本题考查两角和与差的余弦函数，数量积的坐标表达式，弦切互化，考查计算能力，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，若f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）当0＜x≤
π
3
时，求f（x）的值域．
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f（x）=
a
•
b
+
1
2
的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若x∈(
7
24
π，
5
12
π)时，f(x)=-
3
5
，求cos4x的值；
（3）若cosx≥
1
2
，x∈（0，π），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
-
1
2
已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的单调区间；对称轴方程；对称中心坐标；
（3）当0＜x≤
π
3
时，试求f（x）的最值．
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（cosωx，3cosωx），ω＞0，设f（x）=
a
•
b
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x经过怎样的变换得到．

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