Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

+

1

2

的图象的两相邻对称轴间的距离为

π

4

．
（1）求ω值；
（2）若x∈(

7

24

π，

5

12

π)时，f(x)=-

3

5

，求cos4x的值；
（3）若cosx≥

1

2

，x∈（0，π），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用两相邻对称轴间的距离求得函数的周期，进而根据周期公式求得ω．
（2）根据（1）中整理函数解析式，依据f(x)=-

3

5

和同角三角函数的基本关系求得cos（4x-

π

6

）的值，进而根据cos4x=cos(4x-

π

6

+

π

6

)利用两角和公式求得答案．
（3）根据cosx≥

1

2

和余弦函数的单调性求得x的范围，令g（x）=m，则可作出，f（x）和g（x）的图象，利用数形结合的方法求得m的值．

解答：解：由题意，f(x)=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)，
（1）∵两相邻对称轴间的距离为

π

4

，
∴T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2．

（2）由（1）得，f(x)=sin(4x-

π

6

)=-

3

5

，
∵x∈(

7

24π

，

5

12

)，
∴4x-

π

6

∈(π，

3

2

π)，
∴cos(4x-

π

6

)=-

4

5

，
∴cos4x=cos(4x-

π

6

+

π

6

)=cos(4x-

π

6

)cos

π

6

-sin(4x-

π

6

)sin

π

6

=(-

4

5

)×

3

2

-(-

3

5

)×

1

2

=-

2 3

5

+

3

10

．

（3）∵cosx≥

1

2

，且余弦函数在（0，π）上是减函数，
∴x∈(0，

π

3

]，
令f(x)=

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)，g（x）=m，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，
可知m=1或m=-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式的化简求值，正弦函数和余弦函数的单调性．考查了三角函数基础知识的综合运用．