Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．

⑴若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；

⑵求三棱锥P﹣ACE的体积．

Answer 1

 解：（1）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．

设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，

故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．

（2）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，

故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．

三棱锥P﹣ACE的体积V_P﹣ACE=V_C﹣PAE

=S_△PAE•CD=•（•S_△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．