Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点P（2，t）到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与抛物线C交于A、B两点，l₂与抛物线C交于D、E两点，求|AF|•|FB|+|EF|•|FD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用抛物线的定义可得2+$\frac{p}{2}$=3，解方程可得p，即可得到所求方程；
（2）可得F（1，0），直线AB，ED的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为x=ty+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，化简可得|AF|•|FB|=4（t²+1），同理可将t换为$\frac{1}{t}$，可得|EF|•|FD|=4（$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），再由基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得P（2，t）到焦点F的距离为3，
即为P到准线的距离为2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2，
即有抛物线的方程为y²=4x；
（2）可得F（1，0），直线AB，ED的斜率存在且不为0，
可设直线AB的方程为x=ty+1，
代入抛物线的方程可得y²-4ty-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
则|AF|•|FB|=（x₁+1）（x₂+1）=（ty₁+2）（ty₂+2）
=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4=-4t²+8t²+4=4（t²+1），
同理可将t换为$\frac{1}{t}$，可得|EF|•|FD|=4（$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），
即有|AF|•|FB|+|EF|•|FD|=4（t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$+2）≥4（2$\sqrt{{t}^{2}•\frac{1}{{t}^{2}}}$+2）=16，
当且仅当t²=$\frac{1}{{t}^{2}}$，即t=±1时，取得等号．
则|AF|•|FB|+|EF|•|FD|的最小值为16．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及基本不等式求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．