Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），函数g（x）=lnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点），求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]．求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，再通过列表得出导数的正负与单调性的规律，得出函数在区间[-2，2]上的最小值为f（-2）和f（1）中的较小的函数值；
（2）转化为不等式 3a＜x2-

lnx

x

在区间[1，2]上恒成立，变成求右边函数在区间[1，2]上的最小值问题，通过讨论导数的符号，得到3a≤1，从而求得a的取值范围；
（3）首先发现函数h（x）为偶函数，故只需求h（x）在[0，1]上的最大值．然后根据参数a的取值范围，分别讨论函数h（x）在区间[0，1]上的单调性，从而得到函数h（x）在区间[0，1]上的最大值F（a）的解析式．

解答：解：（1）∵f'（x）=3x²-3=0，∴x=±1
∵f（-2）=-2，f（2）=2，f（1）=-2
∴函数的最小值为f（x）_min=-2
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得 3a＜x2-

lnx

x

在[1，2]上恒成立
设h（x）=x2-

lnx

x

则 h′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3+lnx-1

x2

∵2x³-1≥0，lnx≥0
∴h'（x）≥0
∴h（x）_min=h（1）=1
∴a＜

1

3

（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，（ⅰ）当

a

≥1，即a≥1g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当 0＜

a

＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，

a

]上单调递减，在 [

a

，1]单调递增；
1°当 f(1)=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1时，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，

a

]上单调递增，在[

a

，1]上单调递减，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°当 f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

（ⅰ）当 -f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

时，F(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）当 -f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

时，F(a)=-f(

a

)=2a

a

（1）-2
∴F（a）=

1-3a，0＜a≤ 1 4 2a a 1 4 ＜a＜1 3a-1，a≥1

点评：本题以函数为载体，考查利函数的单调性，函数的最值，用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法．本题还考查了分类讨论思想在函数题中的应用，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．