Question

（本题满分13分）

       已知函数

   （1）若，求曲线处的切线；

   （2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

   （3）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（本题满分13分）

       解：（1）当时，

       函数

      

       曲线在点处的切线的斜率为

        1分

       从而曲线在点处的切线方程为

      

       即

   （2） 3分

       令，要使在定义域（0，∞）内是增函     

       只需在（0，+∞）内恒成立    4分

       由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

       ，

      

       只需时，

      

       在（0，+∞）内为增函数，正实数的取值范围是   6分

   （3）上是减函数，

       时，

      

       ，

       即   1分

       ①当时，

       其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧，

       且，所以内是减函数。

       当时，在

       因为，

       所以

       此时，内是减函数。

       故当时，上单调递减

       ，不合题意；

       ②当时，由

       所以

       又由（2）知当时，上是增函数，

       ，不合题意；   11分

       ③当时，由（2）知上是增函数，

      

       又上是减函数，

       故只需

       而

       即

       解得，

       所以实数的取值范围是。  13分

       注：另有其它解法，请酌情给分。

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