Question

讨论解关于x的方程lgx+lg（4-x）=lg（a+2x）的解的个数．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数的定义域，得0＜x＜4，a+2x＞0，从而x²-2x+a=0，由此利用分类讨论思想推导出当a=1时，方程只有一个根，x=1；当0＜a＜1时，方程有两个根，分别是x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

；当-8＜a≤0时，方程有一个根，是x₁=1+

1-a

；当a＞1或a≤-8时，方程无解．

解答： 解：首先根据函数的定义域，得

x＞0 4-x＞0 a+2x＞0

，
∴0＜x＜4，a+2x＞0…（1）
在上述条件下，原方程可改写为，
x（4-x）=a+2x，
整理，得：x²-2x+a=0…（2）
由△=4-4a=4（1-a）≥0，得a≤1…（3）
当a=1时，只有一个根，x=1，满足条件（1）要求，故是原方程的根．
当a＜1时，方程（2）两个根分别为：x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

，
对于x₁：0＜1+

1-a

＜4…（5），a+2（1+

1-a

）＞0…（6）
解方程（5），得

1-a

＜3，解得a＞-8，
解方程（6），得a+2（1+

1-a

）＞0，解得a＞-8，
即对x₁，仅当-8＜a＜1 时是原方程的根．
对于x₂：0＜1-

1-a

＜4…（7），a+2（1-

1-a

）＞0…（8）
解方程（7），得0＜a＜1，
解方程（8），得

1-a

＜

a

2

+1，
当a＜-2时，不可能成立．当a≥-2时，a（a+8）＞0，解得a＞0，
即对x₂，仅当0＜a＜1时是原方程的根．
综上：当a=1时，方程只有一个根，x=1；
当0＜a＜1时，方程有两个根，分别是x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

；
当-8＜a≤0时，方程有一个根，是x₁=1+

1-a

；
当a＞1或a≤-8时，方程无解．

点评：本题考查方程的解的个数的讨论，是中档题，解题时要认真审题，注意对数运算性质和分类讨论思想的合理运用．