Question

下图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中SA=SC，M，N分别为AB，SB的中点．
(Ⅰ)求证：AC⊥SB；
(Ⅱ)求二面角M-NC-B的余弦值。

Answer 1

解：由题意知，SA=SC=2，侧面SAC⊥底面ABC， 底面△ABC为正三角形， (Ⅰ)取AC的中点O，连接OS，OB， 因为SA=SC，AB=BC， 所以AC⊥SO，AC⊥OB， 所以AC⊥平面OSB， 所以AC⊥SB． (Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz， 则， ， ∴， ， 设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， 则，取z=1，则， 所以，， 又由(Ⅰ)得，， 设m=（a，b，c）为平面NBC的法向量， 由得， 令c=1，则， 所以，， 所以，二面角M-NC-B的余弦值为。