Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=2，
（1）双曲线的渐近线方程为

 

；
（2）过双曲线上一点M作直线AM，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为是k₁，k₂，若直线AB过原点O，则k₁•k₂的值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=2，可得

c

a

=2，即可求出双曲线的渐近线方程；
（2）设点，求出斜率，代入双曲线方程，两方程相减，结合双曲线的离心率，即可求得结论．

解答： 解：（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=2，
∴

c

a

=2，
∴

b

a

=

3

，
∴双曲线的渐近线方程为y=±

3

x；
（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），则k₁•k₂=

y2-y12

x2-x12

∵

x2

a2

-

y2

b2

=1，

x12

a2

-

y12

b2

=1
∴两式相减整理可得

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

∵双曲线的离心率e=2，
∴1+

b2

a2

=4，
∴

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

=3
∴k₁•k₂=3
故答案为：（1）y=±

3

x．（2）3．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．